** Matériaux recyclés et smartphones

Les entreprises de production de smartphones augmentent constamment la part de composants recyclés dans leurs appareils. 

Les smartphones d'une entreprise sont constitués de \(8\) types de composants. Le pourcentage de composants recyclés pour chacun de ces \(8\) types est de \(70~\%\). On considère la variable aléatoire \(X\) qui, à une sélection au hasard de \(8\) composants, associe le nombre de composants recyclés.

1. Justifier que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. a. Sans tracer l'arbre représentant la situation (un tel arbre aura \(256\) chemins au total), déterminer le nombre de chemins menant à \(0\) ; \(1\) ; \(7\) et \(8\) composants recyclés.
    b. Compléter alors : \(\dbinom{8}{0}=\;...\) ; \(\dbinom{8}{1}=\;...\) ; \(\dbinom{8}{7}=\;...\) et \(\dbinom{8}{8}=\;...\) .
3. En s'aidant du triangle de Pascal, calculer les probabilités \(P(X=2)\) ; \(P(X=4)\) ; \(P(X=6)\), donner les résultats arrondis à \(0,001\) près.
4. Calculer \(P(X\leqslant 2)\).
5. Quelle est la probabilité d'avoir au moins \(3\) composants recyclés dans un smartphone ainsi produit ?